epi | mono 射
epi 射←→mono 射
epi 射 (epic。epimorphism。全型射)$ e:X\twoheadrightarrow Y
エピ射 - Wikipedia
epimorphism in nLab
圏論の展開 - Mathpedia#epimorphism に関する述語
射$ e:X\twoheadrightarrow Yは、任意の圖式$ \cdot\xrightarrow{e}\cdot\xrightarrow{f,g}\cdotについて反圖式順で右簡約律$ f\circ e=g\circ e,$ e;f=e;gならば$ f=gであるなら epi 射である
射$ e:X\twoheadrightarrow Yは、任意の對象$ Zについて寫像$ {\rm Hom}(e,Z):{\rm Hom}(Y,Z)\to{\rm Hom}(X,Z)が單射ならば epi 射である
圖式$ X\xrightarrow{e}Y\xrightarrow{{\rm id}_Y}Y\xleftarrow{{\rm id}_Y}Y\xleftarrow{e}Xが押し出しであれば$ eは epi 射である
集合の圈$ \bf Setで epi 射は全射である
mono 射は多くの圈で單射っぽいが、epi 射は多くの圈で全射っぽく振る舞はない
mono 射 (monic。monomorphism)$ m:X\hookrightarrow Y
モニック射 - Wikipedia
monomorphism in nLab
射$ m:X\hookrightarrow Yは、任意の圖式$ \cdot\xrightarrow{f,g}\cdot\xrightarrow{m}\cdotについて反圖式順で左簡約律$ m\circ f=m\circ g,$ f;m=g;mならば$ f=gであるなら mono 射である
集合の圈$ \bf Setで mono 射は單射である
分裂 (split)
分裂エピックと分裂モニック (split epic / monic) - TakuLabo
分裂 epi 射 (split epimorphism。SplitEpi)
split epimorphism in nLab
射$ e:A\to Bが分裂 epi 射であるとは、$ s;e={\rm id}_Bとなる射$ s:B\to Aが存在する事を言ふ
射$ sを$ eの斷面 (section) (埋め込み (embedding)。選擇函數) と呼ぶ。$ sは分裂 mono 射である
section in nLab
https://en.wikipedia.org/wiki/Section_(category_theory)
射影、入射、セクション、レトラクション - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
分裂 epi 射は epi 射である
分裂 mono 射 (split monomorphism)
split monomorphism in nLab
射$ m:B\to Aが分裂 mono 射であるとは、$ m;r={\rm id}_Bとなる射$ r:A\to Bが存在する事を言ふ
射$ rを$ mの 引き込み (retraction) (射影 (projection)) と呼ぶ。$ rは分裂 epi 射である
retract in nLab
https://en.wikipedia.org/wiki/Retract_(group_theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/レトラクト_(位相幾何学)
分裂 mono 射は mono 射である
$ m;e:B\to Bは恆等射$ {\rm id}_B
$ e;m:A\to Aは冪等射 (idempotent morphism)$ (e;m);(e;m)=e;m
idempotent in nLab
split idempotent in nLab
extremal
extremal epi 射 (extremal epimorphism。cover。ExtrEpi)
extremal epimorphism in nLab
cover in nLab
epi 射$ eが extremal epi 射であるとは、$ e=g;mとなる mono 射$ mが存在するならば$ mは同型射でもある事を言ふ
extremal mono 射 (extremal monomorphism)
extremal monomorphism in nLab
mono 射$ mが extremal mono 射であるとは、$ m=e;gとなる epi 射$ eが存在するならば$ eは同型射でもある事を言ふ
正則 (regular)
正則 epi 射 (regular epimorphism)
正則エピ射の解説 | Mathpedia
regular epimorphism in nLab
射$ e:B\to Eが正則 epi 射であるとは、$ eが餘等化子となる圖式$ A\xrightarrow{f,g}Bが存在する事を言ふ
正則 mono 射 (regular monomorphism)
regular monomorphism in nLab
射$ e:E\to Aが正則 mono 射であるとは、$ eが等化子となる圖式$ A\xrightarrow{f,g}Bが存在する事を言ふ
正則圈 (regular category)
正則圏の解説 | Mathpedia
Regular category - Mathpedia
Regular category - Wikipedia
regular category in nLab
strict
strict epi 射 (strict epimorphism。StrictEpi)
strict epimorphism in nLab
射$ e:B\to Eが strict epi 射であるとは、任意の圖式$ A\xrightarrow{f,g}Bに對して餘等化子と成る事を言ふ
strict mono 射 (strict monomorphism)
射$ e:E\to Aが strict mono 射であるとは、任意の圖式$ A\xrightarrow{f,g}Bに對して等化子と成る事を言ふ
strong
强 epi 射 (strong epimorphism。StrongEpi)
strong epimorphism in nLab
射$ eが强 epi 射であるとは、任意の mono 射$ mに對して直交$ e\perp mの左側と成る事を言ふ
强 mono 射 (strong monomorphism)
strong monomorphism in nLab
射$ mが强 mono 射であるとは、任意の epi 射$ eに對して直交$ e\perp mの右側と成る事を言ふ
直交 (orthogonality。lifting property)$ e\perp m
orthogonality in nLab
持ち上げ (lift) | 擴張 (extension)
2 つの射$ e:A\to B,$ m:C\to Dが直交してゐる$ e\perp mとは、可換圖式$ \begin{CD}A @>>> C \\ @VeVV @VVmV \\ B @>>> D\end{CD}が在るならば射$ B\to Cを加へて更に可換圖式$ \begin{CD}A @>>> C @= C \\ @VeVV @AAA @VVmV \\ B @= B @>>> D\end{CD}も成り立つ事を言ふ
內積による直交の定義$ e\perp m\iff\lang e,m\rang=0を一般化する?
effective
effective epi 射 (effective epimorphism。EffEpi)
effective epimorphism in nLab
射$ e:A\to Bが effective epi 射であるとは、引き戾し$ A\times_B A\xrightarrow{p_1}A\xrightarrow{e}B\xleftarrow{e}A\xleftarrow{p_2}A\times_B Aが存在し、かつ圖式$ A\times_B A\xrightarrow{p_1,p_2}A\xrightarrow{e}Bが等化子と成る事を言ふ
effective mono 射
effective monomorphism in nLab
normal
normal epi 射
normal mono 射
normal monomorphism in nLab